已知函数f (x)=e^xsinx,对任意的x∈[0,π/2],都有f(x)>=kx成立,求k的取值范围

题目

已知函数f (x)=e^xsinx,对任意的x∈[0,π/2],都有f(x)>=kx成立,求k的取值范围

答案

设g（x)=e^x sinx －kx,g(0)=0
g’(x)=√2 e^x sin(x+45) －k,若使题中不等式成立,只需g’(x)>=0①;
而h(x)=e^x sin(x+45)的导函数h’(x)=√2 e^x sin(x+90)在【0,π】上恒有h’(x)>0
则g’(x)的最小值为g’(0)=1－k②
由①②得k的取值范围为k