[高等代数问题] 设实系数多项式f(x)的首项系数为1且无实根

题目

[高等代数问题] 设实系数多项式f(x)的首项系数为1且无实根
设实系数多项式f(x)的首项系数为1且无实根,求证：存在实系数多项式f(x),h(x),使得f(x)=g(x)^2+h(x)^2,且g(x)的次数大于h(x)的次数

答案

因为f(x)无实根,所以在R[x]上的标准分解为二次不可约多项式之积,所以deg(f(x))必为偶数.
deg(f(x))记做d(f(x))用数学归纳法
d(f)=2时,f(x)=x^2+bx+c=(x+1/2b)^2+c-1/4b^2,因为c-1/4b^2>0,令g(x)=x+1/2b,h(x)=(c-1/4b^2)^(1/2)=记做a即可
假设d(f)=2n-2时成立,则d(f)=2n时
f(x)=(x^2+bx+c)f1(x)=[g(x)^2+a^2][g1(x)^2+h1(x))^2]=[g(x)h1(x)-ag1(x)]^2+[g(x)g1(x)-ah1(x)]^2
因为d(g(x)=1,d(a)=0,d(g1)>g(h1),所以d[g(x)h1(x)-ag1(x)]