在Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线AE与中线CD交于点O，AB=6． （1）求证：AO：OE=2：1； （2）求OC的长．

题目

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线AE与中线CD交于点O，AB=6．

（1）求证：AO：OE=2：1；
（2）求OC的长．

答案

（1）证明：连接DE
则DE是△ABC的中位线，DE∥AC，DE=

1

2

AC
∴∠OAC=∠OED，∠OCA=∠ODE
∴△OAC∽△OED
∴AO：OE=OC：OD=AC：DE=2：1
（2）CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB=6
∴CD=

1

2

AB=3
由（1）可知，OC：OD=2：1
∴OC=

2

3

CD=2．