边长为a的正四面体,求它的高,内切球半径r,外接球半径R,总结它们之间的关系

题目

边长为a的正四面体,求它的高,内切球半径r,外接球半径R,总结它们之间的关系

答案

底面高h1=√3a/2,侧棱射影=h1*2/3=√3a/2*(2/3)=√3a/3,
高h=√[a^2-(√3a/3)^2]=√6a/3,
从侧棱作高的垂直平分线交高于O,O点就是外接球球心,a*a/2=R*h,R=√6a/4,
内切球半径r=h-R=√6a/3-√6a/4=√6a/12,
棱长：高：外接球半径：内切球半径
=1：√6/3：√6/4：√6/12