不定积分∫（1/sinx）dx=ln|cscx-cotx|+C是如何推导出来的?

题目

不定积分∫（1/sinx）dx=ln|cscx-cotx|+C是如何推导出来的?
不定积分∫（1/sinx）dx=∫（cscx）dx=ln|cscx-cotx|+C是如何推导出来的?
另外∫（1/sinx^3）dx,可以分部积分求出,∫（1/cosx^3）dx如何求啊?

答案

1.∫（1/sinx）dx=∫（cscx）dx
=∫cscx(cscx-cotx)/(cscx-cotx)dx
=∫(csc²x-cscxcotx)/(cscx-cotx)dx
=∫d(cscx-cotx)/(cscx-cotx)
=ln|cscx-cotx|+C,（C是积分常数）.
2.∫（1/sinx^3）dx=∫ sinxdx/(sinx)^4
=-∫ d（cosx）/(1-cos²x)²
=1/4∫[（cosx-2)/(1-cosx)²-（cosx+2）/(1+cosx)²]d(cosx)
=1/4[ln|1-cosx|-1/(1-cosx)-ln|1+cosx|+1/(1+cosx)]+C
=1/4[ln|(1-cosx)/(1+cosx)|-2cosx/sin²x]+C
（C是积分常数）.
3.∫（1/cosx^3）dx=∫cosxdx/(1-sin²x）²
=1/4∫[（2-sinx)/(1-sinx)²-（sinx+2）/(1+sinx)²]d(sinx)
=1/4[-ln|1-sinx|+1/(1-sinx)+ln|1+sinx|-1/(1+sinx)]+C
=1/4[ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+2sinx/cos²x]+C
（C是积分常数）.