已知抛物线x^2=2py,在点(1,1/2p)和(-1,1/2p)处的两条切线互相垂直,求抛物线方程.
题目
已知抛物线x^2=2py,在点(1,1/2p)和(-1,1/2p)处的两条切线互相垂直,求抛物线方程.
答案
对抛物线方程求导得:2x=2py' => y'=x/p
所以点(1,1/2p)处的切线斜率为1/p, 在(-1,1/2p)处的切线斜率为-1/p
两条切线互相垂直,所以(1/p)(-1/p)=-1,解得p=±1
所以抛物线方程为x²=±2y
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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