A,B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足向量OA与向量OB的积为0,求直线AB过定点

题目

A,B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足向量OA与向量OB的积为0,求直线AB过定点

答案

设点A,B（x1,y1）,（x2,y2）
（I）当直线l有存在斜率时,设y=kx+b,k≠0且b≠0．
联立方程得：y=kx+b,y2=2px
k2x2+（2kb-2p）x+b2=0
x1x2=b2/k2,y1y2=（kx1+b）（kx2+b）= 2pb/k
又由OA⊥OB
x1x2+y1y2=0,
b2/k2+2pb/k=0,
b=0（舍去）或b=-2pk
y=kx-2pk=k（x-2p）,
故直线过定点（2p,0）
（II）当直线l不存在斜率时,设x=m,m＞0
联立方程得：x=m,y2=2x
y=±√2m,
y1y2=-2m
又由OA⊥OB
x1x2+y1y2=0,
即m2-2m=0,
m=0（舍去）或m=2
x=2,故直线过定点（2,0）
综合（1）（2）可知,满足条件的直线过定点（2,0）．