棱长为a的正四面体的内切球体积是多少

题目

棱长为a的正四面体的内切球体积是多少

答案

设正四面体P-ABC内切球心为O,高为PH,H是三角形ABC的外心（内、重、垂心）,球半径为R,每个正三角形面积为S,
连结OP、OA、OB、OC共分解为4个小三棱锥,它们的体积和为4R*S/3,
在底面三角形ABC中,AH=(√3a/2)*2/3=√3a/3,
PH=√(a^2-AH^2)=√6a/3,
VP-ABC=S△ABC*PH/3=S*√6a/3/3=√6aS/9,
4R*S/3=√6aS/9,
R=√6a/12,
V球=4πR^3/3=√6πa^3/216.