已知f(x)=x/(1+x),数列{an}为首项是1,以f(1)为公比的等比数列;数列{bn}中b1=1/2,且b(n+1)=f(bn)

题目

已知f(x)=x/(1+x),数列{an}为首项是1,以f(1)为公比的等比数列;数列{bn}中b1=1/2,且b(n+1)=f(bn)
(1) 求数列{an}与{bn}的通项公式
(2)令cn=an(1/bn -1),{cn}的前n项和为Tn,证明：对任意n∈N*有1≤Tn＜4

答案

f(1)=1/2,所以an是以1/2为公比的等比数列,an=(1/2)^(n-1)b(n+1)=bn/(bn +1)左右同取倒数,1/b(n+1)=(bn +1)/bn,即1/b(n+1) - 1/bn =1,所以{1/bn}是以2为首项,1为公差的等差数列,{1/bn}=n+1,所以bn=1/(n+1)cn=n×an=n...