已知命题p:“对任意x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“存在x∈R,x2+2ax+2-a=0”若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.
题目
已知命题p:“对任意x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“存在x∈R,x2+2ax+2-a=0”若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.
答案
“对任意x∈[1,2],x
2-a≥0”.
则a≤x
2,
∵1≤x
2≤4,
∴a≤1,即命题p为真时:a≤1.
若“存在x∈R,x
2+2ax+2-a=0”,
则△=4a
2-4(2-a)≥0,
即a
2+a-2≥0,
解得a≥1或a≤-2,
即命题q为真时:a≥1或a≤-2.
若“p∧q”是真命题,
则p,q同时为真命题,
即
解得a=1或a≤-2.
实数a取值范围是a=1或a≤-2.
求出命题p,q为真命题的等价条件,利用“p且q”是真命题,即可求a的取值范围.
复合命题的真假.
本题考查了复合命题的真假判断,求出命题P、q的为真时的等价条件是解答本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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