已知向量a=(sinx,−1),b=(3cosx,2),函数f(x)=(a+b)2. (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若x∈[−π4,π2],求函数f(x)的值域.
题目
已知向量
=(sinx,−1),
=(cosx,2),函数
f(x)=(+)2.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若
x∈[−,],求函数f(x)的值域.
答案
( I)由已知f(x)=(a+b)2=(sinx+3cosx)2+(−1+2)2,…(2分)化简得f(x)=2sin(2x+π6)+3,…(4分)函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.…(6分)( II)∵x∈[−π4,π2],则−π3≤2x+π6≤7π6,…(8分)所...
( I)利用两个向量数量积公式化简f(x)的解析式为
2sin(2x+)+3,由此求得函数的周期.
( II)由
x∈[−,],可得
−≤2x+≤,由此求得
sin(2x+)的范围,即可得到
f(x)=2sin(2x+)+3的值域.
三角函数中的恒等变换应用;平面向量的综合题;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.
本题主要考查两个向量数量积公式的应用,正弦函数的周期性和求法、正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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