求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边的距离．

题目

求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边的距离．

答案

以两条对角线的交点为原点O、对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，（如图所示） 
设A（-a，0），B（0，-b），C（c，0），D（0，d），则CD的中点E（

c

2

，

d

2

），AB的中点H（-

a

2

，-

b

2

）．
又圆心G到四个顶点的距离相等，故圆心G的横坐标等于AC中点的横坐标，等于

c−a

2

，
圆心G的纵坐标等于BD中点的纵坐标，等于

d−b

2

．
即圆心G（

c−a

2

，

d−b

2

），∴|OE|²=

c2+d2

4

，
|GH|²=(

c−a

2

+

a

2

)2+(

d−b

2

+

b

2

)2=

c2+d2

4

，∴|OE|=|GH|，故要证的结论成立．