已知矩形ABCD中,AB=2,AD=4,动点P在以点C为圆心,1为半径的圆上,若向量AP=λ向量AB+μ向量AD

题目

已知矩形ABCD中,AB=2,AD=4,动点P在以点C为圆心,1为半径的圆上,若向量AP=λ向量AB+μ向量AD
求λ+2μ的取值范围

答案

已知矩形ABCD中,AB=2,AD=4,动点P在以点C为圆心,1为半径的圆上,若向量AP=λAB+μAD；
求λ+2μ的取值范围.
以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立坐标系；在此坐标系里,矩形
ABCD各顶点的坐标为：A(0,0)；B(2,0)；C(2,4)；D(0,4)；向量AB=(2,0)；AD=(0,4)；
点P是园 x=2+cost,y=4+sint上的动点,P(2+cost,4+sint)；故AP=(2+cost,4+sint)；
由AP=λAB+μAD,得：
2+cost=2λ.(1)
4+sint=4μ.(2)
故λ+2μ=[1+(1/2)cost]+[2+(1/2)sint]=3+(1/2)(cost+sint)=3+(√2/2)sin(t+π/4)
于是得3-(√2/2)≦λ+2μ≦3+(√2/2)