某二次函数的顶点坐标为P(4,3),图像交x轴于A、B两点,且三角形PAB的面积为6,求该二次函数的解析式.

题目

某二次函数的顶点坐标为P(4,3),图像交x轴于A、B两点,且三角形PAB的面积为6,求该二次函数的解析式.
我已求得AB=4,但是不知A、B的坐标是什么,因为求三角形的面积也可以用底外高.

答案

首先引入一个公式.
二次函数y=ax^2+bx+c在x轴上截出的距离=√（b^2-4ac）/│a│即d=√△/│a│
简证：在函数y=ax^2+bx+c中,令y=0,解得x1=（-b+√△）/2a,x2=（-b-√△）/2a,│x1-x2│=√△/│a│,故结论得证.
（Ps：推广这个引理,还可以得到一个更为有用的定理,二次函数y=ax^2+bx+c在平行于x轴的直线y=m上截出的距离=√（△+4am）/│a│,证明略）
如你所说,AB=4,设二次函数为y=ax^2+bx+c,则有√△/│a│=4,又顶点坐标为P(4,3),所以有(4ac-b^2)/4a=3,-b/2a=4,联立三式,得a=-4/3,b=6,c=-9
所以解析式为y=-3/4x^2+6x-9
当然有更简便的办法,显然AB两点关于对称轴对称,又顶点是4,3,AB长4,所以显然A（2,0）B（6,0）用待定系数法一下子就出来了