设四维向量组a1=(1+c,1,1,1)^T,a2=(2,2+c,2,2)T,a3=(3,3,3+c,3)T,a4=(4,4,4,4+c)T,

题目

设四维向量组a1=(1+c,1,1,1)^T,a2=(2,2+c,2,2)T,a3=(3,3,3+c,3)T,a4=(4,4,4,4+c)T,
问c为何值时,a1,a2,a3,a4线性相关?求其一个最大无关组,并将其余向量用该最大无关组线性表示.

答案

| 1+c 2 +0 3+0 4+0 |
| 1+0 2+c 3+0 4+0 |
| 1+0 2+0 3+c 4+0 |
| 1+0 2+0 3+0 4+c|＝c^4+10c³＝0 c＝0 或者 c＝-10
[按列折开成16个四阶行列式,只有5个不是零,加起来即c^4+10c³]
c＝0时 最大无关组﹛a1﹜ a2＝2a1,a3＝3a1 a4＝4a1
c＝-10时, 最大无关组﹛a1.a2,a3﹜ a4＝-a1-a2-a3