1、1、2、3、5、8、13…….90个数排成一行,那么,这90个数的和除以5的余数是多少

题目

1、1、2、3、5、8、13…….90个数排成一行,那么,这90个数的和除以5的余数是多少

答案

这就是著名的:斐波那契数列
A(n+2)=A(n+1)+A(N)
任意4项相加得:
A(n+4) +A(n+3)+A(n+2)+A(n+1)
=A(n+3)+A(n+2)+A(n+3)+A(n+2)+A(n+1)
=2*A(n+3) +2*A(n+2)+A(n+1)
=2*A(n+2)+2*A(n+1) +2*A(n+2)+A(n+1)
=4A(n+2)+3A(n+1)
=4*[A(n+1)+A(n)]+3A(n+1)
=7A(n+1)+4A(n)
=11A(n)+7A(n-1)
=[10A(n)+5A(n-1)]+A(n-1)+[A(n)+A(n-1)]
=[10A(n)+5A(n-1)]+A(n-2)+A(n-3)+[A(n)+A(n-1)]
=5*[2*A(n)+A(n-1)]+A(n-2)+A(n-3)+A(n)+A(n-1)
6项和=2+3+5+8=18,被5除余数为3.
10项与3~6项之和关与5同余:得余3
同理:
11~14项之和除以5余3
.
87~90项之和除以5余3
所以3~90项之和与(3*[(90-2)/4]=66)关于5同余,即余数为1
再加上第1和第2项得关于5的余数为(1+1+1)=3
结果:这90个数的和除以5的余数是3