关于无穷小与无穷大的定理问题

题目

关于无穷小与无穷大的定理问题
比如说定理:有限个无穷小的和也是无穷小.
假设在x趋向于x0的时候,书上证明是两个无穷小在X趋向x0时的和满足无穷小的条件.
但是我想,为什么证明时两个无穷小都是正好趋向于X0?定理说的两个无穷小不一定有同一个X0?
比如说,(0.5)的X次方和2的X次方,都是无穷小啊,虽然这两个函数不是趋向有限值时的无穷小,可他们相加不会是无穷小啊
为什么?

答案

问题中提到的“定理说的两个无穷小不一定有同一个X0”是误解.
无穷小本质上是极限,而极限都有极限过程.两个极限能够进行运算,必须要求其极限过程是同一的.否则,“有限个无穷小的和也是无穷小”定理就不成立.
正如你提到的例子,(0.5)的X次方和2的X次方虽然都可以看作是无穷小,但由于其分别是不同过程的无穷小,因此如果进行运算,必然导致是同一过程,也就是说两个不能同时为无穷小,当然相加就不是无穷小了.