初等数论,若P为素数且P=1(mod4),则(((p-1)/2)!)^2+1=0(mod p)

题目

初等数论,若P为素数且P=1(mod4),则(((p-1)/2)!)^2+1=0(mod p)

答案

根据Wilson定理,由p是素数有(p-1)!≡ -1 (mod p).由p是奇数,有如下(p-1)/2个同余式:p-1 ≡ -1 (mod p),p-2 ≡ -2 (mod p),...(p+1)/2 ≡ -(p-1)/2 (mod p).相乘即得(p-1)!/((p-1)/2)!≡ (-1)^((p-1)/2)·((p-1)/2)!(...