三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”.问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少?

三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”.问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少?

题目
三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”.问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少?
答案
①任何三个连续正整数,必有一个能为3整除.所以,任何“美妙数”必有因数3.
②若三个连续正整数中间的数是偶数,它又是完全平方数,必定能为4整除;若中间的数是奇数,则第一和第三个数是偶数,所以任何“美妙数”必有因数4.
③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0,若其个位是5和0,则中间的数必能被5整除,若其个位是1和6,则第一个数必能被5整除,若其个位是4和9,则第三个数必能被5整除.所以,任何“美妙数”必有因数5.
④上述说明“美妙数”都有因数3、4、和5,也就有因数60,即所有的美妙数的最大公约数至少是60.
另一方面,60=3×4×5,60也是一个“美妙数”,美妙数的最大公约至多是60.
答:所有的美妙数的最大公约数只能是60.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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