P是圆O外一点,PA,PB是圆O切线,A,B是切点,AB交OP于点C,求证：CP⊥AB,且AC=BC.

题目

P是圆O外一点,PA,PB是圆O切线,A,B是切点,AB交OP于点C,求证：CP⊥AB,且AC=BC.

答案

证明：
连接OA,OB,则OA=OB=半径
∵PA,PB是圆O切线,
∴∠PAO=∠PBO=90º
根据圆外一点引的两条切线长相等
∴PA=PB
∴⊿PAO≌⊿PBO（SAS）
∴∠APO=∠BPO
即PC是等腰三角形ABP顶角的平分线,根据三线合一
∴PC是底边AB的中垂线
∴PC⊥AB,AC=BC