已知△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证：平面PAC⊥平面ABC.

题目

已知△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证：平面PAC⊥平面ABC.

答案

证明：找到AC,BC的中点D,E,连结PD,PE,DE．显然DE为△ABC的中位线,所以DE‖AB．又AB⊥BC,所以DE⊥BC.因为PB=PC,E为BC中点,所以PE⊥BC,所以BC⊥平面PDE,所以BC⊥PD．又PA=PC,D为AC中点,所以PD⊥AC,所以PD⊥平面ABC,故平面PAC⊥平面ABC.