若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）、（1，2）内各有一个零点，求b−2a−1的取值范围．

题目

若函数f（x）=x²+ax+2b在区间（0，1）、（1，2）内各有一个零点，求

b−2

a−1

的取值范围．

答案

由已知得：

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

⇒（4分）

2b＞0 a+2b+1＜0 2a+2b+4＞0

⇒

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

（6分）
其表示得区域M如图：（（9分）

b−2

a−1

表示C（1，2）与M区域中的点（a，b）连线的斜率．
A（-3，1），B（-1，0）kCA＝

1

4

，kCB＝1
从图中可知

b−2

a−1

∈(

1

4

，1)

由已知中函数f（x）=x²+ax+2b在区间（0，1）、（1，2）内各有一个零点，我们根据方程的根与对应零点之间的关系，结合二次函数图象的性质，易得到关于a，b的约束条件，进而得到

b−2

a−1

的范围．

本题考点：简单线性规划的应用；函数零点的判定定理．

考点点评：本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，其中根据方程的根与对应零点之间的关系，得到关于a，b的约束条件是解答本题的关键．