已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2. (1)求函数f(x)在[t,t+1](t>0)上的最小值; (2)存在x0∈[1,e],使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.
题目
已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2.
(1)求函数f(x)在[t,t+1](t>0)上的最小值;
(2)存在x0∈[1,e],使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)求导函数可得:f′(x)=lnx+1,
当x∈(0,
),f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(
,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴①0<t<t+1<
时,没有最小值;
②t<
<t+1,0<t<
时,f(x)
min=f(
)=-
;
③
≤t<t+1,即t≥
时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,f(x)
min=f(t)=tlnt,
综上得f(x)
min=
;
(2)由已知,2xlnx≥-x
2+ax-2,则a≤2lnx+x+
,
设h(x)=2lnx+x+
(x>0),则h′(x)=
,
∵x∈[1,e],∴h′(x)≥0,h(x)单调递增,
∴存在x
0∈[1,e],使得f(x
0)≥g(x
0)成立,即a≤h(x)max=e+
+1.
(1)求导函数,确定函数的单调性,分类讨论,即可求得函数f(x)在[t,t+1](t>0)上的最小值;
(2)由已知分离参数,则a≤2lnx+x+
,设h(x)=2lnx+x+
(x>0),因为存在x
0∈[1,e],使得f(x
0)≥g(x
0)成立,故有a≤h(x)max,从而可求实数a的取值范围.
利用导数求闭区间上函数的最值.
本题主要考查了函数的极值,以及利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点