设f(x)是定义在上(0,+∞)的函数,且满足关系f(x)=f(1/x)lgx+1

题目

设f(x)是定义在上(0,+∞)的函数,且满足关系f(x)=f(1/x)lgx+1
求：1.求f(x)解析式
2.求f(x)有最大值和最小值,并求对应的x的值

答案

因为：f(x)是定义在上(0,+∞)的函数,且满足关系f(x)=f(1/x)lgx+1 .(1)
所以：f(1/x)=-f(x)lgx+1.(2)
由(1),(2)得
f(x)=(lgx+1) /(lg^2(2x)+1)
令lgx=u f(x)=y
则y=(u+1)/(u^2+1)
所以yu^2+y=u+1
即yu^2-u+y-1=0
△=1^2-4y(y-1) >=0
即(1-√2)/2