证明：sin3x(sinx)^3+cos3x(cosx)^3=(cos2x)^3

题目

证明：sin3x(sinx)^3+cos3x(cosx)^3=(cos2x)^3

答案

sin3xsin^3x+cos3xcos^3x
=sin2xcosxsin^3x+cos2xsin^4x+cos2xcos^4x-sin2xsinxcos^3x
=1/2(sin^2(2x)sin^2x-sin^2(2x)cos^2x)+cos2x(sin^4x+cos^4x)
=-1/2sin^2(2x)cos2x+cos2x(sin^4x+cos^4x)
=-1/2sin^2(2x)cos2x+cos2x((sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x)
=-1/2sin^2(2x)cos2x+cos2x(1-1/2sin^2(2x))
=cos2x(1-sin^2(2x))
=cos2xcos^2(2x)
=cos^3(2x)