如果理解数字信号处理中傅里叶变换的周期性?

题目

如果理解数字信号处理中傅里叶变换的周期性?
分析信号的频谱特性时,经常要对信号进行傅里叶变换,但傅里叶变换是以2pi为周期,而时域里的信号角频率的范围是很宽的,为什么傅里叶变换中的0~2pi可以代表信号整个频率范围.

答案

1.模拟信号的频率：我们这样理解,模拟频率越大,信号变化越快.我们拿构成模拟信号的频率分量来说吧,比如cos(Ωt).
2.数字信号是对模拟信号[等间隔]抽样得到的,即cos(ΩTn)=cos(wn),w=ΩT[称为数字频率],由于离散[数字]信号的自变量是n是整数,因此数字频率w与w+2pi*M是同一个数字频率!即cos(wn)=cos[(w+2pi*M)n].对离散信号作傅里叶变换,实际上是将离散信号[量化后就是数字信号]分解为 e^jwn的线性组合,其频谱就具有周期性,频率为w的频谱等于 频率为w+2piM的频谱.
3.再来看cos(wn)是构成实数离散信号的基本信号；他最大的频率是多少呢?周期最小N=1,故变化最快的是w=pi；变化最慢的当然是直流w=0.因此w=0代表的频率最小,w=pi是最高频率,对应模拟信号的频率为Ω=w/T=pi/T=Ωs/2[抽样频率的一半].对实数离散信号来说,0~2pi的频谱图是以w=pi对称的.
4.根据时域抽样定理,抽样频率Ωs最小为被抽样模拟信号最高频率的2倍；因此可以认为被抽样模拟信号最高频率=Ωs/2,这个频率对应数字频率的pi.
5.实际中即使模拟信号的最高频率是无穷大,但是可以通过滤波,滤去无用的高频分量,再对他抽样以避免 频谱混叠.