如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC边上任一点，PE∥AB交AC于点E，PF∥AC交AB于点F． （1）设BP=x，请写出用x表示S△PEF的表达式； （2）P在BC的什么位置

题目

如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC边上任一点，PE∥AB交AC于点E，PF∥AC交AB于点F．

（1）设BP=x，请写出用x表示S_△PEF的表达式；
（2）P在BC的什么位置时，S_△PEF取得最大值？

答案

（1）∵BC=2，BC边上的高AD=1，
∴S△ABC=

1

2

×2×1=1，
∵BP=x，
∴PC=2-x，
∵PE∥AB，
∴△CEP与△CAB相似，
∴

S△CEP

S△CAB

＝(

2−x

x

)2，
∴S△CEP＝1−x+

x2

4

，
同理，得到S△BPF＝

x2

4

，
∵四边形AEPF为平行四边形，
∴S_△PEF=

1

2

S▱AEPF=

1

2

（S_△ABC-S_△CEP-S_△BPF）
=-

1

4

x2+

1

2

x，（0＜x＜2）．
S_△PEF=-

1

4

x2+

1

2

x（0＜x＜2）．
（2）由（1）知S_△PEF=-

1

4

x2+

1

2

x=-

1

4

（x-1）²+

1

4

，
∵0＜x＜2，
∴当x=1时，面积有最大值

1

4

．