已知数列{an},a1=8,an=a1+a2+a3+...+an-1 令bn=1/an 求数列{bn}的各项和S

题目

已知数列{an},a1=8,an=a1+a2+a3+...+an-1 令bn=1/an 求数列{bn}的各项和S
已知数列{an},a1=8,an=a1+a2+a3+...+an-1（n-1为下标） 其中n属于N且n大于等于2,令bn=1/an 求数列{bn}的各项和S

答案

an=a(n-1)+a(n-2)+……+a2+a1
所以a2=a1=8而且当n>1时,
an=S(n-1)
又有an=Sn-S(n-1)=a(n+1)-an
2an=a(n+1)
所以n>1的部分是等比数列,公比2.
综上所述：当n>1时an=a2*2^(n-2)=8*2^(n-2)=2^(n+1)
当n=1时另讨论,a1=1,带入不成立,所以分开写.
bn=1/an
前n项和等于
n=1
S1=1/a1=1/8
n>1时,
Sn=1/8+1/(2^3)+……1/(2^ n+1)
=1/8+1/4 - 1/[2^(n+1)]
=3/8 - 1/[2^(n+1)]
除了n=1,其他都满足这个,n=1,S=1/8