设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ

题目

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ
存在两个不同的η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1

答案

第一问：F(x)=f(x)+x-1,F(0)<0第二问：在[0 c]上,f(c)-f(0)=f'(a)(c-0),即f'(a)=（1-c）/c；在[c 1]上,f(1)-f(c)=f'(b)(1-c),即f'(b)=c/(1-c),因此f'(a)f'(b)=1