设函数 φ (x)连续且满足 φ (x)=e^x+ ∫(x,0)(t-x) φ(t)dt,求φ(x)

题目

设函数 φ (x)连续且满足 φ (x)=e^x+ ∫(x,0)(t-x) φ(t)dt,求φ(x)

答案

φ (x)=e^x+ ∫[0→x] (t-x) φ(t)dt
=e^x+ ∫[0→x] tφ(t)dt-x∫[0→x] φ(t)dt
两边对x求导得：
φ'(x)=e^x+ xφ(x)-∫[0→x] φ(t)dt-xφ(x)
=e^x-∫[0→x] φ(t)dt (1)
两边再对导：
φ''(x)=e^x-φ(x),即：φ''(x)+φ(x)=e^x,二阶常系数非齐次线性微分方程
将x=0代入原方程：φ(0)=1
将x=0代入（1）得：φ'(0)=1,这是初始条件
首先解齐次方程的解,特征方程为：r²+1=0,r=±i
齐次方程的通解为：C1cosx+C2sinx
设特解为：y*=ke^x,代入微分方程得：ke^x+ke^x=e^x,则k=1/2
因此微分方程的通解为：y=C1cosx+C2sinx+(1/2)e^x
将初始条件φ(0)=1,φ'(0)=1代入得：
1=C1+1/2
1=C2+1/2
得：C1=1/2,C2=1/2
因此φ(x)=(1/2)cosx+(1/2)sinx+(1/2)e^x