AD是三角形ABC的中线,且CD=AB,AE是三角形ABD的中线,求证：AC=2AE

题目

AD是三角形ABC的中线,且CD=AB,AE是三角形ABD的中线,求证：AC=2AE

答案

证明：延长AE,使EF=AE,连接DF
所以AF=EF+AE=2AE
因为AE是三角形ABD的中线
所以BE=DE
因为角AEB=角DEF
所以三角形ABE和三角形FDE全等（SAS)
所以AB=DF
角B=角BDF
所以AB平行DF
所以角BAD+角ADF=180度
因为AD是三角形ABC的中线
所以BD=DC
因为CD=AB
所以DF=AB=BD
所以角BAD=角ADB
因为角ADC+角ADB=180度
所以角ADC+角ADB=角BAD+角ADF=角ADB+角ADF=180度
所以角ADF=角ADC
因为DF=CD(已证）
AD=AD
所以三角形ADF和三角形ADC全等（SAS)
所以AF=AC
所以AC=2AE