pq皆为两个整数的平方差,求证pq的积也为两个整数的平方差

题目

pq皆为两个整数的平方差,求证pq的积也为两个整数的平方差

答案

设p=a^2-b^2 q=c^2-d^2 （abcd∈Z）
p=(a+b)(a-b)
q=(c+d)(c-d)
pq=(a+b)(c+d)(a-b)(c-d)
=(ac+bd+ad+cd)(ac+bd-ad-cd)
=[(ac+bd)+(ad+cd)][(ac+bd)-(ad+cd)]
=(ac+bd)^2-(ad+cd)^2
因为p=a^2-b^2 q=c^2-d^2 （abcd∈Z）所以ac+bd和ad+cd∈Z
所以pq是两个整数的平方差,得证