数列递推公式 a（n+1）=0.5（an+2/an）,a1=b 这个可以求通项吗?

题目

数列递推公式 a（n+1）=0.5（an+2/an）,a1=b 这个可以求通项吗?
那如何证明它有极限,以及如何求极限

答案

先通分,a(n+1)=[an^2+2]/2an
等式两边分两次,减去±√2,得
a(n+1)-√2=…=(an-√2)^2/2an
a(n+1)+√2=…=(an+√2)^2/2an
两式相除,得
[a(n+1)-√2]/[a(n+1)+√2]=[(an-√2)/(an+√2)]^2
令(an-√2)/(an+√2)=Tn
所以T(n+1)=Tn^2
两边取常用对数,得
lgT(n+1)=2lgTn
所以{lgTn}成等比,公比为2,首相为lg[(b-√2)/(b+√2)
所以最后的Tn=[(b-√2)/(b+√2)]^[2^(n-1)]