已知x=1/3k-1,y=1/6k+3,z=1/2k+3,则x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=?

题目

已知x=1/3k-1,y=1/6k+3,z=1/2k+3,则x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=?

答案

由（x+y+z）²=1,x²+y²+z²=3,
x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=1
∴xy+xz+yz=-1
∵x+y+z=1,∴x+y=1-z,①
代入xy+z（x+y）=-1,
xy+z（1-z）=-1
∴xy=-1-z+z² ②
由韦达定理：Δ=（1-z）²-4（-1-z+z²）≥0,
1-2z+z²+4+4z-4z²≥0
-3z²+2z+5≥0,
3z²-2z-5≤0,
（3z-5）（z+1)≤0
-1≤z≤5/3
M=xyz=（-1-z+z²）z
=z³-z³-z
将z=5/3代入：最大值Mmax=5/27
将z=-1代入：最小值Mmin=-1.