如图I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E， （1）BE与IE相等吗？为什么？（2）试说明IE是AE和DE的比例中项．

题目

如图I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，

（1）BE与IE相等吗？为什么？（2）试说明IE是AE和DE的比例中项．

答案

①BE=IE   
证明：连接BI．
∵I为△ABC内心，
∴∠1=∠2，
∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
∵∠BIE=∠2+∠5，
∠EBI=∠1+∠4，
∴∠BIE=∠EBI，
∴BE=IE；
②证明：∵∠BED=∠AEB，
∠4=∠5，
∴△BED∽△AEB，
∴

BE

AE

＝

ED

EB

即 BE²=AE•ED，
由①知BE=IE，
∴IE²=AE•ED，
∴IE是AE和DE的比例中项．