已知向量a=(3,4,5),求向量a沿e1,e2,e3的正交分解 e1=（2,-1,1）,e2=（1,1,-1）,e3=（0,3,3）

题目

已知向量a=(3,4,5),求向量a沿e1,e2,e3的正交分解 e1=（2,-1,1）,e2=（1,1,-1）,e3=（0,3,3）

答案

在空间直角坐标系O--xyz中,对空间任一向量 ,平移使其起点与原点O重合,得到向量OP=p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使 p =xe1+ye2+ze3,所以在本题中,可如下
设有序实数组{x,y,z},则有a=xe1+ye2+ze3,即：（3,4,5,）=x(2,-1,1)+y(1,1,-1)+z(0,3,3),由此可得三个式子：2x+y=3
-x+y+3z=4
x-y+3z=5,从这个方程组解得：x=7/6,y=2/3,z=3/2
故,a=7/6e1+2/3e2+3/2e3