如果三个平面两两相交,且三条直线不重合.求证：三条直线互相平行或交于一点.

题目

如果三个平面两两相交,且三条直线不重合.求证：三条直线互相平行或交于一点.

答案

已知：平面α、β、γ,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c.
求证：a,b,c相交于同一点,或a∥b∥c.
证明：∵α∩β=a,β∩γ=b
∴a,b⊂β ∴a,b平行或相交.
（1）若a∥b,∵a⊂α,b⊄α,∴b∥α
又b⊂γ,γ∩α=c,∴b∥c
由公理4得a∥b∥c
（2）若a,b相交,设a∩b=O,则O∈a,O∈b,
∵b⊂β,∴O∈β
同理a⊂α,b⊂γ,得O∈α,O∈γ,
故O为α和γ的公共点,
又∵α∩γ=c 由公理2知O∈c ∴a,b,c相交于同一点O.
综合（1）（2）可知：三个平面两两相交,且三条直线不重合,则这三条直线互相平行或交于一点.