a0+0.5a1+.+an/(n+1)=0,证明f(x)=a0+a1x+..+anx^n在(0,1)内至少有1个零根

题目

a0+0.5a1+.+an/(n+1)=0,证明f(x)=a0+a1x+..+anx^n在(0,1)内至少有1个零根
同济高数第六版第三章总习题第六题

答案

证明：
记g(x)=a0x+1/2a1x^2+...+1/(n+1)anx^(n+1)
由初等函数性可知g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导
且g(0)=g(1)=0
由罗尔定理知,
至少存在一点θ∈(0,1),使得
g'(θ)=0
即g'(θ)=f(θ)=0
证毕.