在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，EF∥AC．求证：AB=BF．

题目

在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，EF∥AC．求证：AB=BF．

答案

证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠3+∠ABC=∠C+∠ABC=90°，
∴∠3=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠C=∠EFB，
∴∠EFB=∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△BFE中，

∠1＝∠2 ∠EFB＝∠3 BE＝BE

，
∴△ABE≌△BFE（AAS），
∴AB=BF．

由AB⊥AC，AD⊥BC，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由EF与AC平行，得到一对同位角相等，等量代换得到∠3=∠EFB，再由BE为角平分线得到一对角相等，BE为公共边，利用AAS得到三角形ABE与三角形FBE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．