如图所示,Rt△ABC中,角ABC=90°,以AB为直径作○O交AC边于点D,E是边BC的中点,连接DE.

题目

如图所示,Rt△ABC中,角ABC=90°,以AB为直径作○O交AC边于点D,E是边BC的中点,连接DE.
（1）求证:直线DE是○O的切线.
（2）连接OC交DE于点F,若OF=CF,求tan角ACO的值.

答案

ahhfshf,
（1）连结BD,则∠ADB=90度,（半圆上圆周角是直角）,
E是BC的中点,
∵DE是RT△BDC的斜边上的中线,
∴CE=DE=BE,
∴∠EBD=∠EDB,
∵OB=OD=R,
∴∠DBO=∠BDO,
∵∠DBO+∠DBC=90度,
∴∠BDE+∠BDC=90度,
∴直线DE为圆O的切线.
（2）OF=CF,
则EF是三角形OBC的中位线,
EF‖AB,
DE⊥BC,
OB=OD,四边形OBED是正方形,
连结OE,
OE是△ABC的中位线,OE‖AC,
∠A=∠EOB=45度,
∠ACO=∠COE（内错角相等）,
作OM⊥AC,
OM=AM
设AB=1,BC=1,
AO=1/2,
MO=1/(2√2),
AC=√2,
MC=√2-1/(2√2)=3√2/4,
tan∠ACO=MO/MC=√2/4/(3√2/4)
=1/3