如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证： （1）PA∥平面BDE； （2）平面PAC⊥平面PBD．

题目

如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证：

（1）PA∥平面BDE；  
（2）平面PAC⊥平面PBD．

答案

证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE．
∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO．
∵E为PC的中点，∴EO∥PA．
∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．