求证:3个相交平面的3条交线 平行或重合 或者 交于1点

题目

求证:3个相交平面的3条交线 平行或重合 或者 交于1点

答案

α∩β＝l,β∩γ=m,γ∩α=n,显然l,m都在同一平面β内,因此或者相交或者平行或者重合.
如果l∩m=P,那么由于α∩β＝l,β∩γ=m 知道P既在α,又在γ上,所以n通过点P,因此三条交线交于一点.
如果l和m平行,那么根据β∩γ=m,m在γ内,所以l和γ平行,又α∩β＝l,所以α是经过l的一个平面,所以l平行于γ、α的交线,也就是l平行于n.
如果l和m重合,那么根据β∩γ=m,m在γ内,所以l也在γ内,又α∩β＝l,所以α是经过l的一个平面,所以l和γ、α的交线重合,也就是l和n重合.
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