已知A.B.C是ΔABC的三个内角,且满足2sinB=sinA+sinC,设B的最大值为B0 (1)求B0的大小

题目

已知A.B.C是ΔABC的三个内角,且满足2sinB=sinA+sinC,设B的最大值为B0 (1)求B0的大小

答案

解析：
由正弦定理可得：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
已知2sinB=sinA+sinC,那么有：2b=a+c
上式两边平方得：4b²=a²+2ac+c²
又由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac*cosB
那么：4(a²+c²-2ac*cosB)=a²+2ac+c²
即8ac*cosB=3a²+3c²-2ac
所以：cosB=(3a²+3c²-2ac)/(8ac)
对于a>0,c>0,由均值定理有：a²+c²≥2ac
那么：cosB≥(6ac-2ac)/(8ac)
即cosB≥1/2 (当且仅当a=c时等式成立)
易知∠B≤60°
所以角B的最大值B0=60°