三棱锥的侧棱两两垂直,三个侧面三角形的面积分别为S1、S2、S3,则三棱锥的体积是?怎么做?

题目

三棱锥的侧棱两两垂直,三个侧面三角形的面积分别为S1、S2、S3,则三棱锥的体积是?怎么做?

答案

令三棱锥的三棱分别为a,b,c
则S1=1/2ab,S2=1/2bc,S3=1/2ca
S2*S3/S1 = 1/2ca * 1/2bc / (1/2ab) = 1/2c^2
c = √(2S2*S3/S1)
令以S1为底,则新三棱锥的高为c
体积V = 1/3S1*c = 1/3*S1* √(2S2*S3/S1) = 1/3 √(2S1S2S3)