已知a,b为实数,函数f（x）=x2+ax+1,且f(x+1)在定义域上是偶函数,函数g(x)=-bf[f（x+1）]+（3b-1）f（x+1）+2 在（-∞,-2）上是增函数,在（-2,0）上是减函

题目

已知a,b为实数,函数f（x）=x2+ax+1,且f(x+1)在定义域上是偶函数,函数g(x)=-bf[f（x+1）]+（3b-1）f（x+1）+2 在（-∞,-2）上是增函数,在（-2,0）上是减函数,
求a,b的值

答案

f(x+1)=(x+1)^2+a(x+1)+1=x^2+(2+a)x+2+a在定义域上是偶函数
2+a=0,a=-2
f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2
f(x+1)=x^2
g(x)=-bf(x^2)+(3b-1)x^2+2=-b(x^2-1)^2+(3b-1)x^2+2
=-bx^4+(5b-1)x^2+2-b
g'(x)=-4bx^3+2(5b-1)x
在（-∞,-2)上是减函数,在（-2,0）上是增函数
g(x)在x=-2处达到极小值
g'(-2)=32b-4(5b-1)=0,b=-1/3
a=-2,b=-1/3