已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的动直线L交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线相交于点Q,

已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的动直线L交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线相交于点Q,

题目
已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的动直线L交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线相交于点Q,
(1)求向量OA*向量OB的值
(2)求点Q的纵坐标
(3)证明:向量QF^2=向量AF*向量BF
答案
(1)设A(x1,y1) B(x2,y2)直线AB的方程为x=my+p/2,
与y²=2px联立得y²-2pmy-p²=0,所以y1y2=-p²
x1x2=y1²/2p×y2²/2p=(y1y2)²/4p²=p²/4,
∴向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=-3/4 p²
(2)由y²=2px得y=√(2px)(y≥0)或y=-√(2px)(y<0)求导得:当y≥0时,
y'=√(2p)/(2√x)=√(2p)/(2√(y²/2p))=p/y,同理当y<0时,y'=p/y
所以直线AQ和BQ的方程分别为:y=p/y1(x-x1)+y1=p/y1(x-y1²/2p)+y1
=p/y1 x + y1/2 y=p/y2 x + y2/2
令p/y1 x + y1/2=p/y2 x + y2/2得(p/y1-p/y2 )XQ= y2/2-y1/2
XQ=y1y2/2p=-p/2,即Q的横坐标为-p/2 Q的纵坐标为(y1+y2)/2=pm(其中m
直线AB斜率的倒数)
(3)证明:向量QF=(p,-pm) ∴向量QF²=p²+pm
向量AF*向量BF=(p/2-x1,-y1)(p/2-x2,-y2)=p²/4-p/2(x1+x2)+x1x2
=p²/4-p/2[(y1+y2)²-2y1y2]/2p+x1x2,由(1)中数据代入可得
向量AF*向量BF=p²/4-1/4 (2pm)²+p²/2+p²/4=p²+pm
∴向量QF^2=向量AF*向量BF 证毕
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.