在直角△ABC中,(1)若斜边长c=1,求内切圆半径r的最大值；(2)若周长为2,求△ABC面积的最大值.

题目

在直角△ABC中,(1)若斜边长c=1,求内切圆半径r的最大值；(2)若周长为2,求△ABC面积的最大值.
(1)r=(√2-1)/2；(2)3-2√2

答案

（1）直角边a=csinA=sinA,b=cosA,
r=(a+b-c)/2=(sinA+cosA-1)/2<=(√2-1）/2,
当A=45°时取等号,
∴r的最大值为（√2-1）/2.
（2）周长为c(sinA+cosA+1)=2,(1)
sinA+cosA=(2-c)/c,
平方得1+2sinAcosA=(4-4c+c^2)/c^2,
sinAcosA=(2-2c)/c^2,
△ABC面积=(1/2)c^2*sinAcosA=1-c,
由（1）式,c最小值=2（√2-1）,
∴△ABC面积最大值=1-2（√2-1）=3-2√2.