若f(x)=asin(x+π/4)+3sin(x-π/4)是偶函数,则实数a的值为?

题目

若f(x)=asin(x+π/4)+3sin(x-π/4)是偶函数,则实数a的值为?
f(x)=asin(x+π/4)+3sin(x-π/4)=asin(x+π/4)-3cos(x+π/4)
f(x)=√（a^2+9) cos(x+π/4-φ).其中tanφ=-a/3
∵f(x)是偶函数 ∴π/4-φ=Kπ（K∈Z）φ=-Kπ+π/4,tanφ=1 所以a=-3
答案结果对的,希望大家帮我看看过程是不是有点问题?
比如f(x)=√（a^2+9) cos(x+π/4-φ)是不是应该为f(x)=√（a^2+9) sin(x+π/4-φ)?还有tanφ=-a/3事怎么出来的?为什么f(x)是偶函数 则π/4-φ=Kπ?
如果我把它化为f(x)=√（a^2+9)sin(x-π/4+φ）应该怎么做下去?

答案

楼主,
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
由以上过程易知,sinφ=a,cosφ=-3,所以tanφ=-a/3
另外也可以有以下做法：
f(x)=asin(x+π/4)+3sin(x-π/4)=acos(x-π/4)+3sin(x-π/4)
=√（a^2+9)sin(x-π/4+φ）,其中tanφ=a/3
∵f(x)是偶函数 ∴φ-π/4=Kπ+π/2 （K∈Z）
∴φ=Kπ+3π/4,∴tanφ=tan3π/4=-1
∴a=-3