已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC并BD=P,A1C1并EF=Q

题目

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC并BD=P,A1C1并EF=Q
{1}证明：D,B,F,E四点共面
{2}若A1C交平面于点,则P,Q,R三点共线

答案

（1）连接B1D1,△B1C1D1中,E、F分别为中点,所以EF∥B1D1,在正方体中,B1、D1分别是B、D两点的射影,所有B1D1∥BD,所以BD∥EF,两条平行线共面,所以
D,B,F,E四点共面
（2）因为R在平面DBFE内,又在直线A1C内,即R也在平面AA1C1C内
因为两个平面相交,只有一个交线,且P、Q分别都在平面DBFE和平面AA1C1C内,所以直线PQ即为两平面交线.
又如上所说,R点也均在平面DBFE和平面AA1C1C内,所以R一定在此两平面的交线上,即R点在交线PQ上,所以P,Q,R三点共线