如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（　　） A.132 B.12 C.12 D.142

题目

如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（　　）
A.

1

3 2

B.

1

2

C.

1

2

D.

1

4 2

答案

如图，设OB=1，则OD=ctgθ，AC=AD•sinθ，OD•cosθsinθ=cos²θ，
V圆锥DBB′＝

π

3

ctgθ，V圆锥OAA′＝

1

3

DO•πAC2＝

1

3

ctgθ•πcos4θ，
由题意知cos4θ＝

1

2

，故知cosθ＝

1

4 2

．
故选D．

设OB=1，求出OD，AC，利用OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，求得关系式，从而求得答案．

本题考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

考点点评：本题考查旋转体的体积，三角函数等有关知识，是中档题．